ED linéaire du premier ordre est du type $$y'=a(x)y+b(x)$$ avec \(a,b\) définies sur \(I\subset\Bbb R\)
Résolution
Equation homogène
Définition :
$$y'=a(x)y\tag{E0}$$ est l'équation homogène
Théorème :
L'équation différentielle $$y'=ay\tag{3}$$ avec \(a\in\Bbb R\) admet comme solutions $$y(x)={{\lambda e^{ax},\lambda\in\Bbb R}}\tag{S}$$
Equation avec second membre
Une équation différentielle du premier ordre avec un second membre est du type $$y'=a(x)y+b(x)\tag{E}$$ avec \(a:I\to\Bbb R\) et \(b:I\to\Bbb R\) des fonctions continues
Proposition :
Si \(y_0\) est une solution de \((E)\), alors les solutions de \((E)\) sont : $$y(x)=y_0(x)+ke^{A(x)}$$ où \(y:I\to\Bbb R\), \(x\mapsto A(x)\) est une primitive de \(x\mapsto a(x)\)
(Continuité, Fonction exponentielle)